NotaPositiva - Trabalhos de Estudantes

EXERCICIOS I

ANALISE COMBINATORIA

1 – Suponha que pretende comprar 3 cassetes de música clássica e duas de música ligeira. Na loja onde as vai comprar encontra 30 cassetes diferentes de música clássica e 50 diferentes de música ligeira

a) de quantos modos diferentes pode escolher as cassetes que pretende comprar?

b) sabendo que duas das cassetes de musica clássica lhe interessam de imediato e as põe logo de lado, determine de quantas formas diferentes pode escolher as cassetes?

2 – Determine o número de diagonais de um polígono regular de n lados.

3 – Quantos números de quatro algarismos diferentes podem ser representados no sistema decimal com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6?

4 - Determinar de quantas formas diferentes se podem dispor em linha sobre uma mesa 8 cartas extraídas de um baralho com 40 cartas de modo a que os três primeiros lugares sejam ocupados apenas por figuras (considere os ases como figuras) e os cinco restantes não sejam ocupados por qualquer figura

5 – Um restaurante tem, para constituição de uma “ementa turística” (um prato e uma sobremesa), 5 pratos diferentes e 6 sobremesas diferentes.

De quantos modos distintos pode ser constituída neste restaurante uma “ementa turística”?

6 – Suponha que tem 4 discos de música clássica, 3 de música ligeira e 3 de música pop.

De quantos modos diferentes pode empilhar os seus discos de forma a manter juntos os da mesma espécie de música?

7 – Determine o número de comissões com 3 membros (sem diferenciação de funções) que podem ser formadas escolhendo entre 5 rapazes e 5 raparigas?

a) sem qualquer restrição

b) com duas raparigas e um rapaz

8 – Simplifique:

a) 58! / 56!

b) (15! + 16!) / (16! -15!)

c) 12! / (10! x 3!)

d) (n - 1)! / (n + 1)!

e) (n + 3)! / (n+1)!

9 – Determine n sabendo que

a) ⁿA₂ = 156

b) ⁿC₂ = 231

10 – De quantas formas diferentes é possível tirar 2 cartas de um baralho de 52?

11 – Determine o valor de n (apresentando todos os cálculos) que satisfaz as igualdades:

a) ⁿA₂ = 210

b) ⁿC₂ = 105

c) justifique porque obteve nas alíneas anteriores o mesmo valor para n

12 – Suponha que pretende distribuir 5 doentes cardíacos e 3 com neurose. Na nova clínica onde os vai alojar existem ainda 20 quartos com vista de mar e 40 com vista de jardim.

a) de quantos modos diferentes pode distribuir os doentes pelos quartos, sabendo que os cardíacos devem ficar nos quatros com vista de mar?

b) Se, um destes doentes cardíacos tiver de ocupar dos quartos com vista de mar o que tem um equipamento especial (em resultado do estado critico em que se encontra), determine de quantas formas diferentes pode distribuir os doentes?

13 – Determine n por forma a que ⁿA₇ = 30 ⁿA₅

14 - Determine o valor de n que verifica a igualdade

ⁿC₃ = 8/5 ^n-1C₄

15 – Simplifique a seguinte expressão (4+3)!

4! + 3!

16 – Simplificar a expressão ¹⁵C₀+ ¹⁵C₁+ ¹⁵C₂+ ¹⁵C_{3 .}+_...... ¹⁵C₁₄+ ¹⁵C₁₅

17 – Numa pizzaria preparam-se as pizas com pelo menos cinco variedades de ingredientes. Havendo 8 ingredientes quantas pizas diferentes se podem preparar ?

18 – Uma força naval, constituída por um porta aviões, um cruzador, uma fragata, uma corveta e um petroleiro, navega em coluna. Qual o número de formações que se podem construir?

19 – O problema anterior, sabendo que o cruzador e a fragata têm de ocupar as duas primeiras posições na coluna.

20 – Numa turma existem 24 alunos, dos quais 10 pretendem tirar o curso de medicina, 9 o curso de engenharia e 5 o de farmácia. Qual o n.º de grupos de trabalho que se podem constituir de modo a que integrem 6 alunos que pretendem medicina, 4 que pretendem engenharia e 2 que pretendem farmácia.

21 – Prove que 2n! + (n+1)! = n² + 2n + 3

(n+1)! n! n + 1

22 – Numa estante estão colocados 3 livros de Inglês, quatro de História e dois de Filosofia. De quantas maneiras se podem dispor os livros na estante por forma a que fiquem juntos os da mesma disciplina.

23 – Um vendedor de fruta tem laranjas, bananas e maças e vende-as a 10 u.m. a peça. Qual o número de compras diferentes que se podem fazer com 100 u.m.

24 – Quantos números diferentes de 4 algarismos também diferentes se podem formar com os algarismos 0, 2, 4 e 8 ?

25 – Dez jogadores de ténis competem num torneio, Existe apenas um campo de jogos, De quantas maneiras distintas se pode organizar o primeiro jogo do torneio.

26 – Os números de telefone de uma certa região têm 7 algarismos, sendo os 3 primeiros 9,8 e 3 (não necessariamente por esta ordem).

Quantos números de telefone, sem algarismos repetidos podem existir nessa região.

27 – Suponha que pretende distribuir 10 raparigas e 8 rapazes por duas salas de aula onde ainda há carteiras vagas. Sabendo que as salas não são mistas e há 20 carteiras disponíveis na sala das meninas e 15 na sala dos rapazes, de quantas maneiras diferentes pode distribuir as crianças pelas salas?

28 – Determine o número de grupos de 3 membros (sem diferenciação de funções) que podem ser formadas escolhendo entre 10 rapazes e 10 raparigas com duas raparigas e um rapaz

29 – a) Determine o valor de n que satisfaz a igualdade: ⁿ C ₅ = 2 ⁿ C ₂

b) mostre que ⁿ C _k ^n-1 C _k-1

-------- = --------------

n k

30 – Determine o número de grupos de 5 pessoas que podem ser formados, com duas mulheres e três homens, escolhendo entre 20 homens e 10 mulheres.

31 - Numa festa de jovens organizou-se um baile entrando nele 6 rapazes e 4 raparigas. Quantos pares diferentes se podem formar para dançar durante o baile.

32 - Determine n por forma a que: ^n-2 A₄ = 7 ^n-3 A ₃

33 – Determine o número de composições florais diferentes, contendo 5 flores, que uma florista pode criar, escolhendo entre 15 rosas de cores diferente e 5 cravos também de cores diferentes, por forma a que cada composição tenha três rosas e dois cravos.

34 - Determine n por forma a que: 2 ⁿC₄ = 7 ⁿ C ₂

35 - Suponha que tem 4 doentes cardíacos, 4 doentes mentais e 3 doentes com fracturas diversas, que tem que transferir para uma nova ala do Hospital.

Por uma questão de optimização dos serviços, pretende distribui-los pelos quartos por forma a manter em quartos contíguos os doentes com o mesmo tipo de doença.

De quantas maneiras diferentes pode distribui-los ?

PROBABILIDADES

1 – a) Extraíram-se duas cartas simultaneamente de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que pelo menos uma das cartas seja a “dama de copas” e qual a probabilidade de que pelo menos uma das cartas seja o “rei de espadas”.

b) De quantas formas diferentes é possível tirar duas cartas do baralho anterior?

2 - Numa lotaria existem 100 bilhetes numerados de 1 a 100.

Sorteiam-se 3 prémios sobre estes números por forma a que os prémios caiam em números distintos.

Qual a probabilidade de se comprar um número premiado?

3 - Qual a probabilidade de no TOTOBOLA se acertar, nos 13 resultados, com o equivalente a 10000 apostas simples, supondo as apostas feitas inteiramente ao acaso.

4 - Um dado foi lançado 100 vezes, tendo-se registado os seguintes resultados:

X_i 1 2 3 4 5 6

f i 14 17 20 18 15 16

Calcule a frequência relativa dos acontecimentos:

saída de face 3

saída de face “par”

saída de face “primo”

5 – Numa Faculdade, 25% dos Alunos segue um curso de Psicologia, 15% um curso de Sociologia e 10% seguem simultaneamente os dois cursos.

Um estudante é escolhido ao acaso.

a) qual a probabilidade de que não estude Sociologia;

b) qual a probabilidade de que pelo menos estude uma das disciplinas;

c) sabendo que estuda Sociologia, qual a probabilidade de também estudar Psicologia.

6 - Numa sala estão 10 homens e 20 mulheres, havendo em cada grupo 50% com olhos castanhos.

Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja homem ou tenha os olhos castanhos?

7 - Numa corrida entre três cavalos A, B e C admite-se que A e B tenham iguais probabilidades de ganhar e qualquer um deles uma probabilidade dupla da de C ganhar.

Qual a probabilidade de A ou C ganharem a corrida?

8 - A e B vão jogar 3 partidas de xadrez.

Em cada partida o vencedor marca um ponto e o vencido 0.

Em caso de empate cada jogador marca 0.5 pontos.

Admitindo que A e B são igualmente fortes, qual a probabilidade de ao fim de 3 partidas terem o mesmo número de pontos?

9 - Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Seja A1 o acontecimento “ a primeira bola extraída é preta” e A₂ o acontecimento “ a segunda bola extraída é preta”.

Calcule a probabilidade de A₁∩ A₂ nas seguintes condições:

- com reposição

- sem reposição

10 - Tiraram-se sucessivamente e ao acaso duas cartas de um baralho.

Calcule a probabilidade de ambas serem ases

a) tiragem com reposição

b) tiragem sem reposição

11 - Dados dois baralhos, tira-se uma carta de cada um deles. Qual a probabilidade de que pelo menos uma das cartas seja um ás de paus?

12 - Extraem-se, sucessivamente sem reposição, duas bolas de uma urna contendo 9 bolas brancas e 11 pretas.

Qual a probabilidade de que as duas bolas extraídas sejam brancas?

13 - Considerem-se duas urnas nas seguintes condições:

Bolas brancas Bolas pretas

1ª urna 2 3

2ª urna 3 2

Escolhe-se ao acaso uma das urnas e extrai-se, também ao acaso, uma bola da urna escolhida.

Qual a probabilidade da bola escolhida ser branca?

14 – Extraíram-se duas cartas simultaneamente de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que pelo menos uma das cartas seja o “rei de espadas”

a) De quantas formas diferentes é possível tirar duas cartas do baralho anterior?

15 - Um par de dados equilibrados foi lançado uma vez

Descreva o espaço dos resultados e calcule as seguintes probabilidades:

a) a soma das pintas ser igual a 8

b) o produto das pintas ser igual a 6

c) o número de pintas ser igual

d) o número de pintas em ambos os dados ser par

16 - Lançaram-se três moedas não viciadas.

Descreva o espaço dos resultados e calcule as seguintes probabilidades:

a) sair uma cara

b) não sair nenhuma coroa

c) saírem pelo menos 2 caras

d) saírem quando muito 2 coroas

17 - Dados dois acontecimentos, A e B, tais que P (A) =1/4 P (B)=1/3 e P (AUB) =1/2

a) A e B serão incompatíveis?

b) A e B serão independentes?

c) determine P (Ā); P (AUB); P (A-B); P (Ā/B); P (B/A); P (A/B)

18 - Uma urna contém 10 bolas de 3 cores: brancas, pretas e encarnadas, sendo 5 encarnadas e 3 pretas.

a) calcule as seguintes probabilidades:

- sair uma bola branca

- sair bola encarnada sabendo que já não existe nenhuma bola branca na urna

- sair bola encarnada ou bola preta

- não sair bola encarnada

b) extraindo três bolas, qual a probabilidade de elas serem todas diferentes

- supondo que a extracção é feita com reposição

- supondo que a extracção é feita sem reposição

19 - Lançaram-se dois dados equilibrados e verificou-se que os dois números que saíram não eram iguais. Calcule a probabilidade:

a) da soma das pintas se igual a 7.

b) da soma das pintas se menor do que 4

c) da soma das pintas se maior ou igual a 10

20 - O “Glorioso” ganha com a probabilidade 0.7 e perde com a probabilidade 0.1. A equipa joga 3 vezes por semana.

Descreva os seguintes acontecimentos em função dos acontecimentos elementares e calcule as probabilidades respectivas:

a) a equipa ganha pelo menos 2 vezes e não perde.

b) a equipa ganha um jogo, perde outro e empata outro.

c) a equipa não ganha nenhum dos jogos.

21 - Seis atiradores dispararam simultaneamente sobre um alvo em movimento.

Sabendo que à distancia do tiro cada atirador acerta uma vez em três, qual a probabilidade do alvo ser atingido?

22 - Extraem-se, sucessivamente, com reposição, duas bolas de uma urna contendo 9 bolas brancas e 11 pretas.

Qual a probabilidade de que as duas bolas extraídas sejam de cor diferente?

23- Uma pessoa tem dois filhos.

a) atendendo à idade descreva o espaço de resultados.

b) sabendo que um deles é rapariga, qual a probabilidade de o outro ser rapaz.

c) qual a probabilidade de ser rapaz, se soubermos que a rapariga é a mais velha.

24 - Sabe-se que no fabrico de certo artigo ocorreram defeitos de tipo I com probabilidade 1/10 e defeitos de tipo II com probabilidades 1/2.

Os defeitos dos dois tipos ocorrem independentemente um do outro.

Calcular a probabilidade de:

a) um artigo ser defeituoso

b) um artigo não ter defeitos

c) um artigo ter apenas um tipo de defeito sabendo que é defeituoso.

25 - Num bairro de uma cidade vivem 240 indivíduos, sendo 120 africanos, 20 asiáticos e 100 europeus.

Suponha que, para um certo estudo demográfico no âmbito do seu doutoramento, necessita contactar telefonicamente e de forma totalmente aleatória dois indivíduos diferentes dessa cidade.

Determine:

a) a probabilidade de no 1º telefonema contactar um europeu e no segundo um africano.

b) a probabilidade de ao 1º telefonema contactar um asiático ou um africano,

26 - Uma caixa com 12 bolos tem 6 “pastéis de nata”, 1 “bolo de arroz” e 5 “marinos”. Supondo que, sem escolher, retira um bolo para comer e que depois de o comer retira, também sem escolher, um segundo bolo.

Determine:

c) a probabilidade do 1º bolo ser um “marino” e o segundo ser um “pastel de nata”.

d) a probabilidade do primeiro bolo ser um “bolo de arroz ou um pastel de nata”

27 - Um cesto com 24 peças de fruta tem 12 “bananas”, 2 “laranjas” e 10 “maças”. Supondo que, sem escolher, retira uma peça de fruta para comer e que depois de a comer retira, também sem escolher, uma segunda.

Determine:

e) a probabilidade da 1ª ser uma “maça” e a segunda ser uma “banana”.

f) a probabilidade da primeira peça de fruta ser uma “laranja” ou uma “banana”

28 – Três atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar é duas vezes maior que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a de C.

Qual a probabilidade de cada um dos atletas ganhar?

29 - Num Hospital psiquiátrico há 40 esquizofrénicos e 80 ciclotímicos. Em cada um dos dois grupos há 50% de indivíduos com problemas cardíacos.

Determine a probabilidade de, escolhendo um doente ao acaso, ser esquizofrénico ou cardíaco.

30 – Na aldeia XYZ, existem 100 homens e 200 mulheres, havendo em cada grupo 50% de analfabetos. Escolhida uma pessoa ao acaso:

a) qual a probabilidade de ser homem ou ser analfabeto.

b) qual a probabilidade de ser homem e analfabeto

31 – Dados os seguintes valores obtidos na cidade XYZ

Escalão Rendimento ( u. m. ) familiar n.º de famílias

1 menos de 10 000 500

2 10 000 – 20 000 1 000

3 20 000 – 30 000 1 500

4 30 000 – 50 000 1 600

5 50 000 ou mais 400

Indique qual a probabilidade de uma família escolhida ao acaso nessa cidade ter:

a) um rendimento inferior a 10 000 u.m.

b) um rendimento entre 10 000 e 30 000 u.m.

c) um rendimento inferior a 10 000 ou superior a 50 000 u.m.

32 - Sabe-se que 10% da população portuguesa sofre de hipertensão

a) supondo que entre os indivíduos hipertensos, 85% ingerem bebidas alcoólicas e que entre os indivíduos não hipertensos 20% ingerem bebidas alcoólicas, calcule a percentagem de pessoas que bebendo álcool, são hipertensos.

b) qual a probabilidade de num exame médico realizado a 1000 portugueses se encontrarem pelo menos 80 hipertensos?

33 - Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população de uma dada cidade pelas três marcas existente (A, B, C) de um produto de grande consumo, é dada pelos seguintes valores:

consumidores de A 51%; consumidores de A e B 28%;

consumidores de B 62%; consumidores de A e C 21%;

consumidores de C 40%; consumidores de B e C 24%;

consumidores de A, B e C simultaneamente 10%

Qual a probabilidade de que uma pessoa tomada ao acaso nesta cidade, seja consumidora:

a) das marcas A e B

b) somente de A e C

c) somente de C

d) de pelo menos uma das marcas

e) de nenhuma delas

34 - A urna A contem 3 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. A urna B contem 2 bolas vermelhas e 1 bola branca e a urna C contem 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas.

a) se uma urna é seleccionada aleatoriamente e uma bola retirada, qual a probabilidade de ser vermelha?

b) extraiu-se uma bola e verificou-se ser branca.

Qual a probabilidade de ela ter sido retirada da urna B?

35 - Um vendedor de bolbos obtém misturas à custa de 3 lotes, que por terem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação. A probabilidade de germinar de um bolbo que pertence ao lote A é de 0.6, que pertence ao lote B é de 0.85 e se pertence ao lote C é de 0.9.

a) determine a probabilidade de um bolbo não germinar.

b) retirou-se um bolbo de um pacote que contem igual proporção de bolbos dos lotes A, B e C. Sabendo que o bolbo germinou, qual a probabilidade de pertencer ao lote A?

36 - Um indivíduo tem 3 estradas A, B, e C à sua disposição para chegar à estação onde deve apanhar o comboio. Escolhendo sempre um caminho ao acaso e supondo que as probabilidades de perder o comboio indo pelas estradas A, B e C são respectivamente 1/20, 1/10, e 1/5, qual a probabilidade de, tendo chegado à estação e perdido o comboio, ter ido pela estrada C?

37 - Considere o lançamento de uma moeda por duas vezes. Qual a probabilidade de saída de pelo menos uma caravela.

38 – Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:

A U B U C = Ω

P[ A ] = 0,3 P [ B ] = 0,7 P [ C ] = 0,5

P (A ∩ B) = 0 P (C ∩ B) = 0

Determine P (A ∩ C)

39 - Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:

P (A) = P (B) = P (C) = ¼

P (A ∩ B) = P (C ∩ B) = 0

P (A ∩ C) = 1/8

Calcule a probabilidade de que ao menos um dos acontecimentos ocorra

40 - Dum lote de 100 peças das quais 20 são defeituosas e 80 são perfeitas escolheu-se uma amostra de 10 peças.

Qual a probabilidade de achar 3 defeituosas e 7 perfeitas?

41 - Uma caixa com 18 chocolates recheados tem: 8 com creme branco, 6 com nogat e 4 com recheio de ginja.

Suponha que de forma aleatória retira da caixa um primeiro chocolate e que, porque lhe sabe muito bem, não resiste e retira um segundo, também sem escolher.

a) Qual a probabilidade do primeiro ser recheado de nogat e o segundo de ginja?

b) Qual a probabilidade do primeiro ser de creme branco ou de ginja?

42 – Numa fábrica de tapetes tem-se vindo a verificar o aparecimento de pequenas manchas de cor verde com uma probabilidade de 1/8 e outras de cor amarela com a probabilidade de 1/3. As manchas verdes e as manchas amarelas ocorrem independentemente umas das outras (podem, portanto, ocorrer em simultâneo).

Calcule a probabilidade de:

a) um tapete ter manchas

b) um tapete não ter manchas

c) um tapete ter apenas manchas de uma das cores, sabendo que tem manchas.

43 – 3 cavalos participam numa corrida. A probabilidade de o cavalo A ganhar é duas vezes maior .do que a do cavalo B ganhar e esta duas vezes maior do que a do cavalo C ganhar.

a) Qual a probabilidade de cada um dos cavalos ganhar a prova?

b) Qual a probabilidade da prova ser ganha pelo cavalo A ou pelo cavalo C?

44 - Um estudante de Psicologia tem de fazer 3 exames para concluir o ano lectivo. A probabilidade de ficar bem em cada um dos exames é de 40%.

Calcule a probabilidade de ficar bem em:

a) pelo menos um dos exames

b) exactamente um exame

45 - Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:

P (A) = P (B) = P (C) = 1/3

P (A ∩ C) = 1/6

P (A ∩ B) = P (C ∩ B) = 0

Calcule a probabilidade de que ao menos um dos acontecimentos ocorra

46 - A e B são equipas de futebol que vão jogar 3 jogos para apuramento .

Em cada jogo a equipa vencedora marca um ponto e a equipa vencida marca 0 pontos.

Em caso de empate cada equipa marca 0.5 pontos.

Admitindo que A e B são equipas da mesma divisão e portanto igualmente fortes, qual a probabilidade de ao fim de 3 jogos estarem empatadas em número de pontos?

47 – Numa fábrica de peças em vidro têm vindo a aparecer pequenas pintas negras nas peças fabricadas, com uma probabilidade de 1/8. Independentemente dessas pintas, têm surgido também bolhas na textura do vidro com uma probabilidade de 1/3. Calcule a probabilidade de:

d) uma peça ter defeito

e) uma peça não ter defeitos

f) uma peça ter apenas pintas pretas ou ter apenas bolhas, sabendo que tem defeito.

48 - Um saco contem 12 bolas: 6 “vermelha”, 1 “amarela” e 5 “azuis”.

Supondo que, sem escolher, retira uma bola sem a repor e em seguida retira uma segunda bola

Determine:

g) a probabilidade da primeira bola ser “azul” e a segunda ser “vermelha”.

h) a probabilidade da primeira ser “amarela ou vermelha”

49 – Sejam A, B, C três acontecimentos associados a uma experiência aleatória

Exprima em notação de acontecimentos:

a) Pelo menos um dos acontecimentos ocorre

b) Apenas o acontecimento A ocorre

c) Exactamente um dos acontecimentos ocorre

d) Exactamente dois dos acontecimentos ocorrem

e) Não mais de dois acontecimentos ocorrem

50 – Numa Clinica psiquiátrica há 60 doentes que sofrem de neurose e 100 de depressão. Em cada um dos dois grupos há 50% de indivíduos com problemas cardíacos. Determine:

- A probabilidade de, escolhendo um doente ao acaso, ser neurótico ou cardíaco.

51 – Numa “batalha naval” três barcos de guerra localizam simultaneamente um submarino inimigo e tentam destruí-lo independentemente uns dos outros

Sejam os acontecimentos:

A – o 1º barco afunda o submarino

B – o 2º barco afunda o submarino

C – o 3º barco afunda o submarino

D – o submarino é destruído

Qual a probabilidade de o submarino ser destruído se as probabilidades de A, B e C forem respectivamente iguais a 0,6; 0,3 e 0,2?

52 – Na CIBERLEX, uma empresa de serviços informáticos, há computadores de três marcas: CPAQ, ABM e XP.

50% dos computadores são da marca CPAQ e, entre eles, 80% têm CD-ROM.

35% dos computadores são da marca ABM, dos quais 70% têm CD-ROM

Os restantes são da marca XP, dos quais 60% têm CD-ROM

Para um computador da CIBERLEX, escolhido ao acaso, avalie a probabilidade de:

a) ter CD-ROM

b) ter CD-ROM ou ser da marca CPAQ

c) ser da marca CPAQ, sabendo-se que tem CD-ROM

53 - Sendo P[A] = 0,5 e P[AUB] = 0,7

Determine:

a) P[B] sendo A e B independentes

b) P[B] sendo A e B mutuamente exclusivos

c) P[B] sendo [A/B] = 0,5

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

EXERCÍCIOS

1- Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes.

Trace o gráfico da função de distribuição da variável aleatória que designa o número de caras que ocorreu.

2 – Considere a seguinte função

x_i / 16 se 0 £ x_i < k

F (x_i) (8 - x_i) / 16 se k £ x_i < 8

0 se x_i < 0 ou x_i ³ 8

a) determine k de modo que F (x_i) seja função de probabilidade de uma variável aleatória X

b) determine a função de distribuição de X

c) determine a probabilidade P ( 2 < X < 6 | X > 4)

3 - Seja X uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades

x_i -3 -2 1 2

P(x_i)_i 3/8 1/4 1/8 1/4

Seja Y = 3X; Z = X + 2; W = X²

Determine para cada uma destas variáveis aleatórias:

a) a distribuição de probabilidades

b) o valor médio, a variância e o desvio padrão

4 - Considere a variável aleatória que toma valores; k – 2, k + 2, 2k + 3 e 6k com a seguinte distribuição de probabilidade

k – 2 k + 2 2k + 3 6 k

m/12 (m -1)/6 (m – 2)/4 (m – 1)/12

a) sabendo que E (X) = 3 determine k

b) calcule a função de distribuição de X e represente-a graficamente

5 - Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória que representa o maior dos dois números saídos.

Determinar:

a) o espaço dos resultados

b) a distribuição de probabilidade

c) o valor médio de X

d) a variância de X

e) o desvio padrão de X

6 - Um neutrão quando passa através do plutónio, deixa livres, com igual probabilidade 1, 2 ou 3 neutrões de 2ª geração. Cada um destes neutrões pode também, com igual probabilidade, deixar livres 1, 2 ou 3 neutrões de 3ª geração. Estude a variável aleatória X que representa o n.º de neutrões de 3ª geração obtidos por um único neutrão de 1ª geração.

7 - Considere o lançamento de 2 dados. Considere agora a variável aleatória Y, que a cada ponto (a,b) do espaço amostral (s) faz corresponder a soma dos dois valores.

a) calcule Y (s)

b) calcule a função de probabilidade de Y

c) calcule o desvio padrão

8 - Considere o lançamento de um par de dados com 6 faces cada.

a) determine o espaço amostral (s);

b) considere a variável aleatória X, que a cada ponto (a,b) de s associa o maior desses números:

Calcule

1. X (s)

2. a função de probabilidade

3. o valor médio de X

4. a variância de X

5. desvio padrão de X

9 - Considere o lançamento de 3 moedas equilibradas e a variável aleatória X = {n.º de faces}

a) determine a função de probabilidade

b) determine a esperança matemática e a variância da distribuição

b) construa o gráfico da função de probabilidade de X

c) calcule p(X > 2)

10 - Uma moeda não viciada, é lançada até que uma coroa ou quatro caras ocorram. Determine o n.º esperado de lançamentos da moeda.

11 - O sr Silva, vendedor de gelados, ganha 10 € por dia em dias bem quentes, 7€ em dias temperados e 2€ em dias invernosos.

Sabe-se que a probabilidade de fazer um dia bem quente é de 0,35, enquanto que a de fazer um dia invernoso é de 0,45. Qual será o lucro médio diário do Sr Silva ?

12 - Num restaurante existem 3 mulheres e 3 homens na cozinha. O gerente quer responsabilizar 2 elementos dessa equipa por um banquete e resolveu selecciona-los aleatoriamente.

Seja X = { n.º de mulheres nessa amostra aleatória }

a) determine a função distribuição da variável aleatória X

b) calcule P (X > 1) e P (0 ≤ X < 1,5)

c) calcule o valor médio e a variância

13 - Uma caixa tem 5 bolas pretas, 3 azuis e 7 amarelas. Considere uma experiência aleatória que consiste em retirar ao acaso 2 bolas sem reposição.

Atribua a seguinte pontuação a cada uma das bolas:

Bola preta – 1 ponto

Bola azul – 2 pontos

Bola amarela – 3 pontos

Seja X a variável aleatória “ soma do n.º de pontos obtidos”

a) determine a função de probabilidade de X

b) calcule P (3 < X < 6)

14 - Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de dois dados perfeitos. Definindo a variável aleatória discreta X como a diferença em valor absoluto dos resultados obtidos, determine para essa variável:

a) o espaço dos resultados

b) a função probabilidade

c) represente graficamente a função de probabilidade

d) deduza a respectiva função de distribuição e represente-a graficamente

e) determine o valor esperado, a variância e o desvio padrão da distribuição

f) calcule a probabilidade da diferença absoluta não exceder 2.

15 - Considere a seguinte função de probabilidade:

x_i ² / 14 para x_i = 1, 2, 3

P(x_i) =

0 para outros valores de x_i

a) mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função de probabilidade e represente-a graficamente

b) deduza a função de distribuição e represente-a graficamente

c) determine o valor esperado e o desvio padrão

d) calcule P [X = 1 / X ≤ 2]

16 - Seja X a variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:

(x_i² + 1) / k para x_i = -2, -1, 0, 1, 2

P(x_i) =

0 para outros valores de x_i

a) determine k por forma a que P(x_i) seja efectivamente uma função de probabilidade

b) deduza a respectiva função de distribuição e represente-a graficamente

17 - A variável aleatória discreta X, apresenta a seguinte função de distribuição:

x_i 1 2 3 4

---------|-----------------------------------------------

F(x_i) 0,1 0,4 0,9 1

a) calcule P [X ≤ 2] e P [X > 1]

b) estabeleça a função de probabilidade

c) determine a esperança matemática e a variância da distribuição

d) represente graficamente as duas funções

18 - Considere a variável aleatória discreta X

x_i	1	2	3	4	5
P(x_i)	a²	a²	A	a	a²

a) determine a de modo a obter uma função de probabilidade

b) represente graficamente a função de probabilidade

c) determine a média e a variância da distribuição

19 – Seja F (x_i) uma função definida da seguinte forma

0 se x_i <0 ou x_i ³5

(q - 1) / 6 se 0 £ x_i < 2

F (x_i)

q/ 8 se 2 £ x_i < 4

(2 q -3) / 6 se 4 £ x_i < 5

a) Determine o valor de q para o qual f (x) é função densidade de uma variável aleatória X

20 - A variável aleatória discreta X, apresenta a seguinte função de probabilidade:

x_i 0 1 2 3

---------|--------------------------------------------------

P(x_i) 1/10 1/5 K 1/10

e) calcule P [X ≤ 2] e P [X > 1]

f) estabeleça a função de distribuição

g) determine a esperança matemática e a variância da distribuição

h) represente graficamente as duas funções

21 - Um dado foi lançado 100 vezes, tendo-se registado os seguintes resultados:

x_i 1 2 3 4 5 6

F (x_i) 14 17 20 18 15 16

- Determine a função de probabilidade da variável aleatória X (nº de pintas do dado)

- Construa o respectivo gráfico

- Calcule o valor esperado da média e a variância da distribuição

DISTRIBUIÇÕES: NORMAL – BINOMIAL - POISSON

EXERCÍCIOS

POISSON

1 - Suponha que, um livro de 585 páginas, contem 43 erros tipográficos. Se esses erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de que:

a) duas páginas qualquer estejam livre de erros.

b) Entre 10 e 12 páginas escolhidas ao acaso estejam livres de erros.

2 - No fabrico de determinado tecido, ocorrem de forma casual e independente pequeníssimos defeitos na proporção de 2 / m2.

Comprando 5 m2 desse tecido, qual a probabilidade de encontrar 3 defeitos?

Poderá aplicar-se um modelo de Poisson?

3 - Num cruzamento com grande intensidade de tráfego a probabilidade de um carro ter um acidente é de 0,001

Por dia passam em média 10000 carros

Qual a probabilidade de haver pelo menos um acidente por dia?

4 - No período das 10 às 11 horas o número médio de comunicações telefónicas é de 1,8 chamadas por minuto.

Qual a probabilidade de entre as 10.53 e as 11.54 não haver nenhuma comunicação.

5 - Constatou-se que, para cada grupo de 500 páginas de texto, se encontravam em média 300 gralhas

Qual a probabilidade de numa pagina se encontrarem exactamente 2 gralhas?

Qual a probabilidade de aparecerem pelo menos duas gralhas?

6 - Em qualquer cidade há em média dois suicidas por 50 000 habitantes

Qual a probabilidade de numa cidade de 100 000 habitantes haver 10 suicidas

7 - O número de nascimentos verificados por dia, numa certa Maternidade, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson.

a) Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos num dia é igual a 0,368 determine a probabilidade da ocorrência de três ou mais nascimentos

b) Determine a probabilidade de se registarem entre 3 e 5 nascimentos num dia.

8 - Supondo que 1% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, encontre a probabilidade de numa amostra de 100 peças, 3 ou mais serem defeituosas.

9 - Sabe-se que o número de chamadas recebidas por uma central telefónica segue uma distribuição de Poisson. Entre as duas e as quatro horas da tarde recebe em média 3 chamadas por minuto.

Qual a probabilidade de no período referido, receber mais do que 4 chamadas por minuto?

10 - rto tipo de acidentes por ano. Considerando que os 8000 clientes da Companhia são aleatoriamente recolhidos da população

a) Determine a probabilidade de que não mais de 8 venham a sofrer tal tipo de acidente no próximo ano (utilize a Lei de Poisson, dado que a probabilidade do acontecimento é muito pequena).

b) A Companhia faz uma campanha publicitária oferecendo um prémio a todos os clientes que ao longo do ano não sofram esse acidente. Campanha esta que elevou o número de clientes para 15000. Calcule a probabilidade de da Companhia não ter dado prémio a mais de 14 clientes.

11 - Sabendo que em média 2% das pessoas são ruivas, determine a probabilidade de em 100 pessoas haver:

a) 3 ruivas

b) 3 ou mais ruivas

c) nenhuma ruiva

12 - Num certo volume “V” de um líquido, estão disseminadas bactérias com a frequência média de 2 bactérias por c.c. do líquido.

Admitindo que o fenómeno segue uma Lei de Poisson, qual é a probabilidade de, numa amostra de 2 c.c. de líquido, encontrar:

a) nenhuma bactéria

b) pelo menos duas bactérias

13 - Admite-se que os erros que uma dactilógrafa comete por página sigam uma lei de Poisson.

Se o número médio de erros por página for de 2,3 (ou seja l = 2,3) qual a probabilidade de ao recolher-se uma amostra de 5 páginas se encontrarem: 2 erros na 1ª; 0 na 2ª; 5 na 3ª; 0 na 4ª e 1 na 5ª.

14 – Suponha que um em mil nasce com um tipo de sangue muito raro. Num Hospital de uma grande cidade nasceram 5000 bebés um 2006. Calcule a probabilidade aproximada

de que pelo menos 3 bebés tenham o tipo de sangue mencionado

15 - Sabe-se que o n.º de chamadas recebidas por hora numa central telefónica tem uma distribuição de Poisson .

Entre as duas e as quatro horas da tarde, uma central telefónica recebeu em média três chamadas por minuto.

Qual a probabilidade de receber mais do que 4 chamadas num intervalo de um minuto no período anteriormente considerado?

16 - O número de nascimentos verificados por dia, numa certa Maternidade, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson.

Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos num dia é igual a 0,368 determine uma aproximação da probabilidade de se registarem entre 28 a 32 nascimentos no mês de Dezembro, sabendo que o número de nascimentos é independente de dia para dia.

17 - Supondo que uma pessoa em 1000 sofre de uma doença rara, pretende saber-se qual a probabilidade de numa cidade de 6000 habitantes, haver pelo menos 3 pessoas a sofrerem dessa doença.

18 - Admite-se que 5% dos doentes do “Hospital Psiquiátrico” sofram de neurose obsessiva.

Numa amostra de 100 doentes, qual a probabilidade de se encontrarem:

a) 2 doentes com esse tipo de neurose

b) Mais de 2 com essa mesma neurose

19 - Uma agência de publicidade, nos seus estudos de penetração no mercado, concluiu que 7% das donas de casa que recebem a visita de um vendedor de enciclopédias, acabam por comprar uma. Admitindo que 20 donas de casa receberam a visita de um vendedor, qual a probabilidade de terem sido compradas:

a) 5 enciclopédias

b) Mais de 3 enciclopédias.

20 – Suponha que 9% das crianças de uma instituição de beneficência sofre de depressão resultante do abandono que sofreu.

Se seleccionarmos aleatoriamente 100 crianças, qual a probabilidade de nenhuma sofrer de depressão e qual a probabilidade de encontrar mais de duas a sofrer.

21 - Observou-se que, numa certa estrada secundária, os carros passam a uma taxa média de 3 por hora. Supondo que os instantes em que os carros passam são independentes e que X é o número de carros que passam na estrada durante 20 minutos. Calcule P (X = 0) e P (X ³ 2)

BINOMIAL

2 - A probabilidade de John McEnroe ganhar qualquer partida de ténis em que participa é de 2/3.

Num torneio de quatro partidas, encontre a probabilidade de John McEnroe vencer:

a) Exactamente duas partidas

b) Pelo menos 3 partidas

c) Nenhuma partida

6 - Cinco dados equilibrados foram lançados uma vez. Seja a variável aleatória representativa do número de “1” que ocorrem.

a) Calcule o valor médio e a variância de Y.

b) Calcule P ( 1 <= X< 4 ) e P ( X >= 2 )

19 - Uma em cada 10 parturientes sofre de depressão pós parto, determine a probabilidade de, em 30 parturientes escolhidas ao acaso, nenhuma sofrer e a probabilidade de quando muito 3 sofrerem de depressão pós parto.

25 - Calcule a probabilidade de em cinco lançamentos de um dado honesto a face 3 aparecer 0, 1, 2 vezes

26 - 20% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. Calcule a probabilidade de em 4 peças escolhidas ao acaso nenhuma ser defeituosa.

Calcule também a probabilidade de quando muito duas peças serem defeituosas.

27 - Determine a probabilidade de obter um número de caras entre 3 e 6 inclusive em 10 lançamentos de uma moeda equilibrada.

a) Usando a distribuição binomial

b) Usando a distribuição normal

30 - Suponha que 5% dos copos feitos numa determinada máquina são defeituosos.

Se seleccionarmos aleatoriamente 20 copos feitos por essa máquina, qual a probabilidade de nenhum deles ser defeituoso.

Qual o número esperado de defeituosos de entre os 20 copos seleccionados

31 - Determine recorrendo à distribuição Binomial

a) A probabilidade de obter 2 caras em 6 lances de uma moeda equilibrada.

b) A probabilidade de obter pelo menos 4 caras em 6 lances.

32 - Um vendedor de televisões concede crédito aos compradores. Constata-se que 10% daqueles a quem é concedido crédito não pagam, caso em que o prejuízo por aparelho é de 40 u.m. Por cada um dos aparelhos vendidos a crédito, que são pagos na totalidade, o lucro é de 20 u.m.

Supondo que o vendedor tem 10 televisões para vender a crédito, individualmente e independentemente, a 10 pessoas, determine a distribuição do lucro que virá a obter na venda dos 10 aparelhos

33 - Supondo que um dardo tem uma probabilidade de 0,2 de acertar num alvo, calcule a probabilidade de acertar 2 vezes no alvo em 5 lançamentos.

36 - Num supermercado sabe-se que os clientes chegam aleatoriamente a uma taxa média de 4 por minuto e ainda que, o número de clientes que chegam em qualquer período de tempo segue uma distribuição de Poisson

a) qual a probabilidade de que nos 3 minutos a seguir à abertura do supermercado cheguem entre 10 e 15 clientes?

b) o gerente do supermercado decidiu atribuir um prémio ao cliente que num determinado dia chegasse em 1000º lugar.

O Sr. A pensou que se chegasse às 14 horas teria uma grande probabilidade de ser o feliz contemplado.

Supondo que o supermercado abre às 10 horas da manhã e não fecha para o almoço, calcule um valor aproximado da probabilidade do Sr. A ter chegado tarde de mais.

39 - 30% das reclusas da Cadeia XXX sofre de hipertensão, determine a probabilidade de, em 6 reclusas escolhidas ao acaso, haver:

a) - entre 2 e 4 reclusas com hipertensão

b) - nenhuma reclusa com hipertensão

46 - A produção de peças em série por uma certa máquina, dá origem em média a 95% de peças utilizáveis.

Calcular a probabilidade de numa amostra aleatória de 200 peças retiradas da produção total, que sabemos ser elevada, se encontrarem:

- mais de dez peças defeituosas

- menos de cinco peças defeituosas

48 – A probabilidade de um atirador acertar no alvo é de P = ¼. Em 8 tiros, qual a probabilidade de acertar no alvo pelo menos 2 vezes ?

54 - A probabilidade de uma borboleta, apanhada numa certa região, pertencer à espécie “Erebia Epipsodia” é igual a 0,3. Se um biólogo apanhar 8 borboletas nessa região, qual a probabilidade de:

a) exactamente duas pertencerem a essa espécie

b) pelo menos três pertencem a essa espécie

c) no máximo quatro sejam “Erebia Epipsodia”

59 - Supõe-se que 30 pessoas de uma população de 100 tem sangue do tipo B. Para uma amostra aleatória de dimensão 20, extraída dessa população, determine a probabilidade de:

a) encontrar exactamente 3 pessoas com sangue do tipo B

b) encontrar 3 ou mais pessoas com sangue do tipo B

c) encontrar menos de 3 pessoas com sangue do tipo B

61 - Em Portugal estima-se que 2/3 dos pedidos de baixa à Segurança Social sejam fraudes. Um inspector faz 6 visitas domiciliárias.

a) Quantas fraudes espera o inspector encontrar nessas visitas ?

b) Qual a probabilidade de encontrar mais fraudes do que não fraudes ?

64 - Num determinado stand de automóveis usados existem 8 Audi, 5 Peugeot 4 Ferrari, 3 Toyota. É sabido que irão ser vendidas 5 viaturas. Calcule a probabilidade de serem vendidos:

a) 2 Audi

b) pelo menos 4 Peugeot

c) no máximo 2 Ferrari

d) qual o número esperado de Toyota a serem vendidos ?

65 - Segundo uma empresa de estudos de mercado a probabilidade de uma dona de casa entrar num supermercado e comprar detergente da marca “abc” é de 0,4. a D. Genoveva ao dirigir-se ao supermercado irá comprar 5 embalagens de detergente, de modo a ficar abastecida para todo o mês. Calcule a probabilidade de a D. Genoveva comprar:

a) 3 embalagens de “abc”

b) pelo menos 1 de “abc”

c) qual o número esperado de embalagens “abc” que a D. Genoveva comprará ?

66 - Suponha agora que é feita uma campanha publicitária na TV para promover as vendas do detergente “abc”. Devido a esta campanha, a probabilidade de 0,4 sobe para 0,75. resolva de novo as três alíneas do problema anterior.

67 - Suponhamos que 24% de indivíduos de uma determinada população tem sangue do tipo B. Para uma amostra aleatória de dimensão 20, extraída dessa população, determine a probabilidade de:

a) encontrar exactamente 3 pessoas com sangue do tipo B

b) encontrar 3 ou mais pessoas com sangue do tipo B

c) encontrar menos de 3 pessoas com sangue do tipo B

68 - Numa determinada escola, a correcção de provas especificas é feita por leitura óptica. Por isso, as provas são guardadas em lotes de igual tamanho. Admite-se que o número de erros cometidos na leitura das provas é uma variável aleatória com distribuição binomial de valor médio 0,28 e variância 0,2744

Calcule a probabilidade de ocorrerem menos de 3 erros na leitura das provas de um lote.

69 - Numa análise efectuada aos acidentes rodoviários, desde o inicio do ano, verificou-se que 7 em cada 10 estão relacionados directa ou indirectamente com as más condições da rede rodoviária. Qual a probabilidade de em 10 acidentes

a) 3 estarem relacionados com o mau estado das estradas

b) mais de 5 estarem relacionados com o mau estado das estradas

70 - Admita que 80% da população Portuguesa é de opinião que a Paraisolandia se vai tornar independente após a consulta à população, prevista para Janeiro próximo. Sendo x a variável aleatória correspondente ao “n.º de portugueses que pensam que a Paraisolandia se vai tornar independente”, considere 2 portugueses adultos, sorteados puramente ao acaso. Estabeleça uma tabela de probabilidade para esta amostra de 2 portugueses e esboce a representação gráfica da respectiva função.

71 - Admite-se ser de 0,4 a probabilidade de que um cliente realize, quando entra numa determinada farmácia, despesa em medicamentos superior a 470€. nestas condições, calcule a probabilidade de que em 15 clientes, seleccionados aleatoriamente de entre os que entram na farmácia

a) nenhum tenha realizado despesa superior a 470 €

b) no mínimo 2 gastem mais de 470€

77 – Para publicitar certo medicamento usado no tratamento do cancro, a empresa farmacêutica que o fabrica afirma que a sua eficácia é de 40%.

a) admitindo que a empresa tem razão, qual a probabilidade de, dos 8 pacientes cancerosos de uma enfermaria, tratados com o medicamento, se curarem:

2 pacientes

No mínimo 4 pacientes

b) se o médico responsável pelo sector tratar com esse medicamento 100 doentes cancerosos, qual o número médio de pacientes que se curam? Com que desvio padrão?

86 – Um estudo, encomendado pela empresa ABC, permitiu apurar que, dos seus 120 trabalhadores, 72 mantinham uma atitude negativa face à empresa, 36 uma atitude hostil e 12 uma atitude positiva.

Qual a probabilidade de num grupo de 12 trabalhadores:

a) Pelo menos 10 adoptarem uma atitude hostil face à empresa

b) No mínimo 2 terem uma atitude positiva

87 - Um estudante de Psicologia tem de fazer 3 exames para concluir o ano lectivo. A probabilidade de ficar bem em cada um dos exames é de 40%.

Calcule a probabilidade de ficar bem em:

a) pelo menos um dos exames

b) exactamente um exame

43 – Foram retiradas amostras de 25 unidades de um lote de produtos. O lote tem em média 27% de defeituosos, ou seja, produtos que falham no cumprimento de determinada característica considerada como condição de aceitação.

a) Qual a probabilidade de uma amostra ter 10 defeituosos

b) Qual a probabilidade de, na mesma amostra, haver pelo menos três defeituosos. e qual a probabilidade de não haver mais do que 10 produtos em condições de aceitação.

APROXIMAÇÃO À NORMAL

17 – Fazem-se 5 000 lançamentos de um dado equilibrado. Qual a probabilidade da face 2 ocorrer um número de vezes entre 1 000 e 1 500?

AJUSTAMENTO DAS LEIS TEÓRICAS

5 - Supondo que em 100 lançamentos de um dado honesto (numerado de 1 a 6), a face voltada para cima, obedece ao seguinte esquema:

Face do dado: 1 2 3 4 5 6

Frequência de saída: 28 31 25 10 4 2

Ajuste uma Lei de Poisson e verifique se, ao nível de 5%, se pode considerar um bom ajustamento

7 - Adaptar uma Lei de Poisson aos resultados obtidos durante 50 dias numa rua de Lisboa. Os registos verificados foram os seguintes:

Número de dias: 21 18 7 3 1

Número de acidentes: 0 1 2 3 4

Quantos dias sem acidentes será lícito esperar em 365 dias?

8 - Num porto apurou-se que as chegadas de navios durante seis semanas foram:

2 3 2 1 1 4 2

4 0 2 1 3 1 1

2 0 1 2 0 4 4

3 2 2 1 4 1 2

4 2 1 5 2 4 1

3 4 3 2 5 5 4

Verificar se este fenómeno segue uma Lei de Poisson

18 – Mediu-se o nível de colesterol em 100 pacientes de uma clínica, tendo-se registado os seguintes resultados:

Xi n.º de pacientes

159,5 – 162,5 6

162,5 – 165,5 19

165,5 – 168,5 40

168,5 – 171,5 27

171,5 – 174,5 8

Ajuste uma lei normal aos resultados.

50 – Durante 50 dias foi feito o registo do número de acidentes diários, tendo-se observado o seguinte:

Número de dias: 21 18 7 3 1

Número de acidentes: 0 1 2 3 4

Ajuste uma LEI BINOMIAL

Confirme se a distribuição segue ou não uma LEI BINOMIAL.

NORMAL

1 – Suponha que o consumo diário de água numa localidade lisboeta, segue uma lei normal com valor médio 200 m3 e desvio padrão 10 m3.

a) Qual a probabilidade de num dia o consumo estar compreendido entre 180 e 225 m3;

b) Qual o consumo mínimo que delimita os 30% dos consumidores que mais água gastam

13 - Sabe-se que para uma população de 800 pessoas a altura é uma variável normal de valor médio 1,66 metros e variância 9.

Determine:

a) O número possível de pessoas com altura compreendida entre 1,65 e 1,69

b) O número possível de pessoas com altura compreendida superior a 1,72

c) A altura A tal que haja 127 pessoas com altura superior a A

14 - Seja x uma variável aleatória normal reduzida. Calcule o valor de “a”, tal que:

a) P ( x <= a ) = 0,95

b) P ( x >= a ) = 0,05

c) P ( x >= a ) = 0,95

15 - Mediu-se a altura de 100 pessoas tendo-se registado os resultados seguintes:

X_i Nº de pessoas

159,5 – 162,5 5

162,5 – 165,5 18

165,5 – 168,5 42

168,5 – 171,5 27

171,5 – 174,5 8

a) Adapte uma Lei Normal a estes resultados

b) Os resultados seguem de facto uma Lei Normal?

23 - Dois testes de vocabulário foram administrados a 40 estudantes de uma língua estrangeira.

Os parâmetros dos testes são:

x s

Teste 1 54,10 14,28

Teste 2 21,25 3,52

Dois estudantes “A” e “B” obtiveram as seguintes pontuações:

A B

Teste 1 45 60

Teste 2 30 21

a) Calcule as pontuações reduzidas de “A” e “B”

b) No conjunto dos dois testes, qual o estudante primeiro classificado?

24 - Numa turma, os 25 Alunos foram classificados de 1 a 25 a partir das notas obtidas num dado exercício.

a) Admitindo que a distribuição das notas dos 25 Alunos respeita exactamente as proporções da Lei Normal, determine as notas reduzidas do 2º e do 8º Aluno.

b) Em dois exercícios “A” foi classificado em 2º e 8º lugar respectivamente e “B” manteve o 5º lugar nos dois. Calcule a média das notas reduzidas de “A” e de “B”.

35 - Uma caixa contem 9 iogurtes dos quais 4 estão estragados. Retiram-se 3 sem reposição

a) sendo X o número de iogurtes estragados, determine a sua função massa de probabilidade

b) calcule P (1£ X £ 2)

37 - A distribuição dos rendimentos familiares em certo bairro de 5000 famílias é satisfatoriamente representada por uma lei normal com parâmetros m = 180 u.m. e s = 5 u.m..

a) Qual o número esperado de famílias nesse bairro auferindo entre 175 u.m. e 188 u.m.

b) Qual a percentagem de famílias ganhando menos de 163 u.m.

c) Qual o rendimento máximo auferido pelo grupo das 500 famílias de menores proventos.

40 – Considera-se que a distribuição dos vencimentos dos empregados da Fábrica “IDEAL” segue uma Lei Normal. Sabendo que 40% dos empregados recebem até 500 € por mês e que 50% recebem mais de 1000 €, determine qual o vencimento a partir do qual se encontram os 30% de empregados que auferem os mais elevados vencimentos da Fábrica.

41 – Num grupo de candidatos a uma classe de aprendizagem de uma tarefa manual, admite-se que a distribuição das pontuações de um teste mental é normal de parâmetros: X = 32,3 e S = 8,5.

Foi decidido que 10% dos indivíduos serão orientados para outros tipos de tarefas por o seu nível ser muito elevado, assim como 30% serão igualmente orientados noutras direcções por o seu nível ser muito baixo.

Entre que limites devem variar as notas dos indivíduos para serem admitidos na classe de aprendizagem.

42 – A distribuição por classes da altura de um grupo de pacientes, medida em centímetros com aproximação às décimas, levou a:

Classes f_i acumuladas

162 – 164 45

165 – 167 165

168 – 170 292

171 – 173 392

174 – 176 452

Supondo que a distribuição segue uma “Lei Normal”, determine a probabilidade de o próximo doente a ser submetido ao tratamento ter 170,8 cm de altura e qual a probabilidade de ele ter menos de 161,5.

47 - A variável aleatória X segue uma distribuição normal de parâmetros m = 20 e σ = 3

Determine as seguintes probabilidades:

P (X £ 23); P (X £ 40); P (X £ 14); P (X > 21); P (X > 17); P (21,5 < X < 25);

P (16,2 < X < 18,8); P (17,0 < X < 29,3);

49 – O tempo necessário para completar um teste foi considerado uma variável aleatória com distribuição normal, valor médio 90 m e desvio padrão 15 m

a) que percentagem de estudantes terá terminado o teste ao fim de 2 horas?

b) quando deverá terminar o teste para dar tempo suficiente a 90% dos Alunos o terminarem?

51 – Na produção de um aparelho eléctrico, comandado por controlo termoestático, a temperatura de ligação a que o termóstato realmente actua é em média de 54,3 minutos com desvio padrão igual a 1,88 minutos.

Determine a percentagem de casos que, supondo a distribuição das temperaturas NORMAL, se situam fora do intervalo m ± 3 s .

53 – Depois de fabricado e embalado, a vida média de um certo fármaco é N Ç (m , σ) com

m = 1200 dias e σ 0 40 dias.

Deseja enviar-se um lote do medicamento de modo a que a vida média amostral não seja inferior a 1180 dias, com probabilidade de 0,95. Calcule a dimensão do lote.

55 - Em determinado período, o transito em regresso do Algarve após as “mini férias” do último fim-de-semana sofreu uma demora que seguiu uma distribuição normal com média de 4h e desvio padrão de 0,5h.

a) para um automobilista que casualmente regressou do Algarve naquele período, determine a probabilidade de a demora não ter excedido 3h.

b) qual a demora máxima dos 20% dos automobilistas que, regressando do Algarve naquele período, fizeram a viagem em menos tempo?

c) Qual a demora mínima dos 10% dos automobilistas que, regressando do Algarve naquele período, fizeram a viagem em mais tempo?

56 - Considere uma variável aleatória x com distribuição N Ç (m, σ²), sendo m = 50 e σ = 0,4. Determine as seguintes probabilidades:

a) P (x £ 50)

b) P (x < 40) e P (x > 60)

c) P (40 < x < 60)

60 - A variável aleatória x segue uma distribuição normal de parâmetros m = 20 e σ = 3

Determine:

a) P ( x ≤ 24,50 )

b) P ( x > 10,97 )

c) P ( x ≥ 17,24

63 - Numa Clínica, 30% dos Doentes sofrem de Neurose, 10% de Diabetes e 15% sofrem simultaneamente das duas coisas.

Um doente é escolhido ao acaso.

a) qual a probabilidade de que não sofra de Diabetes;

b) qual a probabilidade de que pelo menos sofra de uma das doenças;

c) sabendo que sofre de Diabetes, qual a probabilidade de também sofrer de Neurose.

72 - Um dado não viciado é lançado 180 vezes. Calcule a probabilidade da face 6 sair:

a) entre 29 e 32 vezes

b) entre 31 e 35 vezes

73 - Com base em sondagens efectuadas, estima-se que, do total da população de uma região, 60% considera que a regionalização vai ter reflexos positivos. Calcule a probabilidade de em 18 pessoas dessa região, pelo menos 2/3 considerarem que a realização vai ter reflexos positivos.

74 - Supondo que a altura de 3 000 estudantes, de determinada universidade, tem média de 68 polegadas e desvio padrão 3. Extraindo 80 amostras de 25 estudantes cada, determine a média e o desvio padrão da média amostral.

75 - Uma agência de publicidade, afirma que 40% das donas de casa que recebem a visita de um vendedor de enciclopédias, acabam por comprar uma.

a) se um vendedor numa semana conseguir visitar 100 donas de casa, qual o número médio de enciclopédias que ele espera vender? Qual o desvio padrão?

b) admitindo que, numa outra semana, 85 donas de casa receberam a visita do vendedor, qual a probabilidade de terem sido compradas mais de 40 enciclopédias?

76 - Admita que 80% da população Portuguesa é de opinião que a Paraisolandia se vai tornar independente após a consulta à população, prevista para Janeiro próximo.

Determine qual a probabilidade de, numa amostra aleatória simples de 400 portugueses, se encontrarem :

a) no mínimo 310 que pensam que a Paraisolandia se vai tornar independente

b) entre 70 e 100 que pensam que a Paraisolandia não se vai tornar independente

c) exactamente 340 que pensam que a Paraisolandia se vai tornar independente.

78 - Suponha que as vendas diárias, em u.m. (unidades monetárias), de determinada farmácia têm distribuição N ∩ (70;9), calcule a probabilidade de num ano ( 245 dias úteis)

a) se realizarem vendas superiores a 17 168 u.m.

b) se realizarem vendas não superiores a 17 244 u.m.

79 - A variável aleatória x segue uma Distribuição Normal de parâmetros μ = 20 e σ = 3. Determine os valores da variável x tais que:

a) P (x ≤ a) = 0,9332

b) P (x > b) = 0,9989

c) P (x ≥ c) = 0,1778

80 - O tempo que um operário leva a executar uma tarefa é uma variável aleatória com distribuição Normal. Sabe-se que a probabilidade de um operário demorar mais do que 13 m é de 0,0668 e a de demorar menos de 8 m é de 0,1587

a) calcule o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrão.

b) calcule a probabilidade de o operário demorar entre 9 e 12 m a executa-la.

81 - Uma prova de admissão a uma escola universitária apresentam-se 3 500 candidatos. As pontuações, obtidas por aqueles, seguem uma Distribuição Normal de valor médio 55 pontos e desvio padrão 25 pontos.

a) uma vez que a referida escola, apenas admite 700 candidatos, indique a nota do último candidato admitido.

b) quantos candidatos obtiveram pontuação superior a 65 pontos?

82 - O fabricante de um determinado medicamento, alega que o mesmo tem 90 de eficiência em aliviar a alergia em 8 H. Numa amostra de 200 indivíduos que sofriam de alergia, o medicamento deu resultado positivo em 160. Determine se é verdadeira a alegação do fabricante.

84 - A média e o desvio padrão, das classificações de um exame, foram 74 e 12 respectivamente. Calcule as classificações reduzidas (valores de Z) dos estudantes que obtiveram:

a) 65 pontos

b) 74 pontos

c) 86 pontos

d) 92 pontos

85 – O coeficiente de inteligência das crianças de 6 anos é uma variável aleatória com distribuição normal. Sabendo que 15% das crianças têm coeficiente inferior a 90 e 2% têm coeficiente superior a 135, qual a percentagem de crianças com coeficiente de inteligência compreendido entre 100 e 120 ?

88 - Os QI’s de uma certa população estudantil consideram-se normalmente distribuídos com valor médio 123 e desvio padrão 4.

a) Observadas 200 amostras de dimensão 20, determine o número provável destas para as quais X > 125.

b) Qual o valor de P ( X < 121 ou > 125 ) ?

89 - A vida média do produto A é de 1000 dias com desvio padrão 30 dias. Se tiver uma encomenda de 20 embalagens desse produto determine qual a probabilidade de o desvio padrão amostral não ser superior a 20 dias.

EXERCICIOS

Intervalos de Confiança

1 - Numa Faculdade de Psicologia 150 Alunos escolheram a opção “Estatística”.

Sabe-se que, o valor médio e o desvio padrão das classificações obtidas naquela opção foram respectivamente 12 e 1,5.

Qual a distribuição amostral das médias das classificações relativamente a amostras de 30 estudantes.

a) Considere a amostragem com reposição

b) Considere que é feita a extracção sem reposição

2 - Os QI’s de uma certa população estudantil consideram-se normalmente distribuídos com valor médio 123 e desvio padrão 4.

a) Observadas 200 amostras de dimensão 20, determine o número provável destas para as quais X <125.

b) Qual o valor de P (X <121 ou >125 ) ?

3 - A variância de uma distribuição amostral de médias, para amostras de 100 elementos retirados de uma população infinita, é 20.

Qual a dimensão da amostra para reduzir para metade:

a) a variância

b) o desvio padrão

4 - Sabe-se que em cada 100 Alunos de uma escola primária de uma zona rural 60 têm mau aproveitamento escolar.

a) Qual a distribuição amostral de proporções relativa a amostras com 75 Alunos.

b) Admitindo que a escola tem 150 Alunos, qual a probabilidade de que numa amostra de 75 Alunos pelo menos 45% tenham bom aproveitamento escolar.

5 - Para determinar a altura média dos estudantes de uma Universidade, mediram-se as alturas numa amostra aleatória de 100 estudantes tendo-se obtido X = 170 cm e S = 5 cm. Quais os intervalos de confiança a 95% e a 99% para altura média dos estudantes da referida Universidade.

6 - Numa região afectada por um surto epidémico, observou-se uma amostra de 2500 indivíduos tendo-se encontrado 625 contaminados.

Determinar intervalos de confiança a 90% e 98% para a proporção de contaminados na população.

7 – Numa região onde se verifica um surto de tuberculose, foram observados 1500 indivíduos, escolhidos de forma aleatória, tendo sido encontrados 350 com tuberculose.

Determine intervalos de confiança de 90% e 98% para a proporção de tuberculosos na população.

8 – O peso médio dos indivíduos do sexo feminino da Universidade Autónoma segue uma distribuição normal N ( µ ; σ ) com desvio padrão σ = 8 kg. Qual a dimensão da amostra que deve recolher, se pretender estimar a média da população utilizando a média amostral, com um erro inferior a 2 kg, com uma probabilidade de 90%.

9 - Na Clínica “Saúde” os 200 doentes cardiovasculares optaram por um tratamento com antioxidantes. Sabe-se que o valor médio e o desvio padrão das pressões sistólicas daqueles pacientes, após o tratamento, foram respectivamente de 145,3 e 16,5 (mm Hg)

Qual a distribuição amostral das médias das pressões sistólicas relativamente a amostras de 35 daqueles doentes:

a)Considere a amostragem com reposição

b)Considere que é feita a extracção sem reposição

10 - A vida média do produto A é de 1000 dias com desvio padrão 30 dias. Se tiver uma encomenda de 20 embalagens desse produto determine qual a probabilidade de o desvio padrão amostral não ser superior a 20 dias.

11 – Num hospital escolheu-se ao acaso uma amostra de 7 doentes e verificou-se que dormiam de noite: 7; 5; 8; 8.5; 6; 7; 8 horas

Para testar a eficácia de uma droga para dormir, administrou-se a mesma a um grupo de doentes do hospital. Recolheu-se aleatoriamente uma amostra de 5 doentes desse grupo, constatando-se que dormiram por noite: 9; 8.5; 9.5; 10; 8 horas

Admitindo que na população, a variável em estudo tem distribuição normal, determine o intervalo de confiança a 99% para a diferença entre os tempos médios de sono.

12 - Determine o intervalo de confiança a 90% para o valor médio de uma distribuição normal com desvio padrão 3 a partir da amostra: 3,3; -0,3; -0,6; -0,9

Calcule o intervalo de confiança a 90% admitindo que o desvio padrão da população é desconhecido

13 – Durante uma epidemia de gripe, pretende estimar-se a proporção p* de doentes que apresentam certa complicação.

a) Sabendo que numa amostra aleatória de 200 doentes, 140 não apresentavam a referida complicação. Determine os limites de confiança a 95% para a proporção p*.

b) Se a amostra de 200 doentes tivesse sido escolhida aleatoriamente numa população de 500 doentes (portanto numa população finita), quais seriam os limites do intervalo de confiança aos mesmos 95%?

14 – O peso das embalagens de um determinado medicamento, comercializado por determinado laboratório, é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição normal.

A fim de estudar a variabilidade do peso das referidas embalagens, recolheu-se uma amostra de 11 elementos que apresentaram os seguintes valores (em gramas):

98; 97; 102; 100; 98; 101; 102; 105; 95; 102; 100

a) Apresente uma estimativa para a variância do peso dos componentes (considera-se s’² um bom estimador).

b) Construa um intervalo de confiança para a variância do peso com um grau de 95%

15 - Numa determinada cidade os resultados de um exame oficial acusam uma média de 72 e um desvio padrão de 8.

a) Determine a nota mínima dos “primeiros” (os melhores) 20% de estudantes, considerando que a distribuição das médias é normal;

b) Em amostras aleatórias de 100 estudantes determine a nota média mínima dos 20% melhor classificados;

c) Qual a % de amostras de dimensão 100 onde se encontra uma média superior a 74.

16 - Querendo utilizar um determinado teste de aptidão manual para seleccionar candidatos a um atelier de mecânica, submeteram-se a esse teste 20 indivíduos, obtendo-se os seguintes resultados: x = 67,8 e s’ = 6,1 ( desvio padrão da amostra )

Supondo que a variável aleatória “resultado do teste” obedece a uma lei normal com parâmetros desconhecidos, qual é a probabilidade da média da amostra ser inferior à média da população em menos de 1,8 ?

17 - Na produção diária de uma dada empresa (1000 peças), 100 deverão ser testadas para se averiguar da respectiva fiabilidade.

Supondo essa amostra obtida com reposição e que nela se detectaram 10 artigos defeituosos, construir um intervalo de confiança de nível 95% para a percentagem de artigos defeituosos na produção diária total.

18 - O conteúdo (em ml) de frascos de certo xarope, tem uma distribuição normal. Admita que os respectivos parâmetros são m = 199 ml e s= 2 ml. Qual a probabilidade de que:

a) O conteúdo médio numa amostra de 16 frascos seleccionados para inspecção seja superior a 200 ml

b) Numa amostra de 100 frascos o conteúdo médio seja inferior a 198,5 ml;

c) Encontre um intervalo tal que: P (a £ x £ b) = 0,95 considerando amostras de 100 frascos.

19 - Depois de fabricado e embalado a vida média de um certo fármaco é normal com m = 1200 dias e s= 40 dias

Deseja enviar-se um lote de medicamentos de modo a que a vida média amostral não seja inferior a 1180 dias com probabilidade de 0,95. Calcule a dimensão do lote

20 - Numa população a altura média dos indivíduos do sexo masculino segue uma distribuição normal com desvio padrão s= 7,5 cm

Qual a dimensão da amostra a recolher para estimar a média populacional, utilizando a média amostral com um erro inferior a 1 cm com probabilidade 0,9.

21 - Com base numa população normal qual deverá ser o tamanho da amostra para que seja pelo menos 0,95 a probabilidade de que a média amostral não se afaste da média da população mais do que 0,5 s (meio desvio padrão da população)

22 - A característica X, em certo artigo produzido em série, segue uma distribuição normal com desvio padrão s = 3.

Com base numa amostra aleatória de 25 unidades que apresentam um valor médio X = 48, construa um intervalo de confiança a 95% para o valor médio do universo.

23 - Determine o intervalo de confiança a 90% para o valor médio de uma distribuição normal com desvio padrão 3, a partir da amostra

3,3; -0,3; -0,6; -0,9

Calcule o intervalo de confiança também a 90% admitindo que o desvio padrão da população é desconhecido

24 - Com base numa população normal, qual deverá ser o tamanho da amostra para que seja no máximo 90% a probabilidade de que a média amostral se afaste da média populacional por menos de 1 desvio padrão populacional.

25 - Em mil amostras de 200 crianças cada, em quantas se esperaria encontrar:

a) Menos de 40% do sexo masculino

b) Entre 40% e 60% do sexo feminino

Considere os dois sexos equiprováveis

26 - O tempo que uma máquina leva a executar certa operação em cada peça produzida é sujeita a variações. Para verificar se as condições de funcionamento estão dentro das normas, registou-se 12 vezes o referido tempo.

Os resultados (em segundos) foram os seguintes:

29 33 36 35

36 40 32 37

31 35 30 36

Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de execução da tarefa pela máquina em análise.

NOTA: Aceita-se que o tempo médio de execução da tarefa segue uma lei normal

27 - O peso de componentes electrónicos produzidos por determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição normal.

Pretendendo estudar-se a variabilidade do peso dos referidos componentes, recolheu-se uma amostra de 11 elementos, cujos valores (em gramas) foram:

98; 97; 102; 100; 98; 101; 102; 105; 95; 102; 100

a) Apresente uma estimativa para a variância do peso dos componentes de entre os estimadores que estudou para σ², justifique a escolha feita.

b) Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança de 95%.

28 - Duas variáveis aleatórias x1 e x2 seguem distribuição normal com variâncias σ₁² = 3,64 e σ₂² = 4,03 respectivamente.

Construa um intervalo de confiança a 95% para a diferença entre as suas médias ( m₁ m₂ ) sabendo que nas amostras recolhidas se obtiveram os seguintes resultados:

Amostra 1 n₁ = 32 x = 16,20

Amostra 2 n₂ = 40 x = 14,85

29 - Duas marcas de comprimidos, um deles contendo aspirina, são anunciados como fazendo desaparecer a dor de cabeça num tempo mínimo.

Foram feitas experiências com cada um deles, tendo os resultados (tempo em minutos) sido os seguintes:

Comprimidos 1 Comprimidos 2

(com aspirina) (sem aspirina)

9,6 9,4 9,3 11,2 10,6 13,2 11,7 9,6

11,4 12,1 10,4 9,6 8,5 9,7 12,3

10,2 8,8 13,0 10,2 12,4 10,8 10,8

a) Obtenha uma estimativa pontual para a diferença entre os tempos médios que cada tipo de comprimidos leva a tirar a dor de cabeça.

b) Obtenha um intervalo de confiança a 95% e diga que conclusão pode tirar do resultado obtido.

NOTA: considere que os tempos referidos seguem uma lei normal.

30 - Pretende investigar-se o nível de remunerações de certa categoria profissional.

De entre os resultados obtidos destacaram-se os seguintes ( em u.m.)

Amostra de 150 mulheres x = 31,0 s´² = 10,3

Amostra de 250 homens x = 33,8 s´² = 5,7

Através da construção de um intervalo de confiança, diga se será de aceitar a tese de que existe desigualdade entre os sexos no tocante ao nível de remuneração

31 – Fizeram-se as seguintes observações de uma variável aleatória normal com média µ e desvio padrão σ desconhecidos:

7,5; 8,6; 7,9; 8,3; 6,4; 8,4; 9,8; 7,2; 7,8

Determine o intervalo de confiança a 95% para:

a) A média da população

b) O desvio padrão da população

c) Supondo σ = 1, qual o intervalo de confiança a 95% para µ

32 - Numa amostra aleatória de 400 adultos e 600 adolescentes que assistiram a um determinado programa de televisão, 100 adultos e 300 adolescentes declararam que o programa lhes agradou.

a) Determine para um grau de confiança de 90% o intervalo que lhe permite estimar a diferença de proporções em termos populacionais.

b) Poderemos concluir que a diferença encontrada entre a opinião de adolescentes e adultos é significativa para 1%

33 - Numa amostra aleatória constituída por 300 homens e 500 mulheres retirada num Hospital de doentes mentais onde tinha acabado de ser exibido um filme de animação, 100 homens e 250 mulheres apresentaram sintomas notórios de acalmia.

a) Determine para uma confiança de 95% o intervalo que lhe permite estimar a diferença de proporções na população do efeito benéfico deste tipo de filme.

34 – Fizeram-se cinco medições do tempo de reacção de um indivíduo a um dado estímulo, obtendo-se os seguintes valores em segundos: ( 0,28; 0,30; 0,27; 0,31; 0,33 )

a) Determine o intervalo de confiança a 99% para o tempo médio de reacção do indivíduo ao estímulo

b) Considerando a mesma amostra, qual é o nível de confiança do intervalo (0,269;0,327)

35 - A propaganda de certa droga medicinal é dirigida aos casos de insónia. Recolhida uma amostra de 250 consumidores, verificou-se que a droga tinha sido eficaz em 190.

Que dimensão deveria ter uma amostra, a recolher nos consumidores, para que a proporção “p” de eficácia da droga se situe num intervalo de amplitude 0,10 com nível de confiança de 99%.

36 - Foi feito um “INQUERITO” a 200 indivíduos tendo-se obtido os seguintes resultados:

O somatório dos rendimentos dos 200 indivíduos ( portanto ∑ X_i ) deu 143,8 u.m.

O somatório dos rendimentos ao quadrado (portanto ∑ X_i²) deu 115,892 u.m.

a) Determine o rendimento médio da população num intervalo de confiança de 95%

b) Qual a dimensão da amostra se se pretender um erro inferior a 0,02 u.m.

37 – Determine a dimensão da amostra que se deve retirar de uma população normal com

σ = 3 cm de modo a que o intervalo de confiança a 90% tenha a amplitude de 1 cm.

Determine o nível de confiança do intervalo (7,226;8,774) considerando que foi construído a partir de uma amostra aleatória com 100 elementos.

38 - Para determinar a “auto consideração” média dos seus clientes, um centro comunitário de saúde mental aplicou um determinado teste a uma amostra aleatória de 100 clientes.

Sabendo que os resultados obtidos foram: X = 20 e S= 4

Determine:

a) O intervalo de confiança a 95% para o valor médio da “auto consideração”;

b) Quais as consequências para a dimensão do intervalo de confiança se, em vez de 95%, o grau de confiança fosse de 99%. Justifique a resposta

39 - Supondo a população normal, construa o intervalo de confiança a 90% para a variância σ² e para o desvio padrão σ utilizando a amostra

44,9 ; 44,1 ; 43 ; 42,9 ; 44,5

40 – Em certo Distrito, 840 dos 2 000 eleitores inquiridos numa sondagem, declararam ir votar no partido A.

a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a percentagem de eleitores do partido A e interprete o resultado obtido

b) Se tivessem sido inquiridos 4 000 eleitores e 1 680 tivessem declarado preferir o partido A (mantendo-se portanto a mesma percentagem na sondagem), qual seria agora o intervalo de confiança a 95%?

c) Que ilação retira dos valores encontrados nas duas alíneas anteriores.

41 – Pretende-se investigar o nível de remunerações de certa categoria profissional

De entre os resultados obtidos destacam-se os seguintes (em u.m)

Amostra de 150 mulheres: x = 31 s₁’² = 10,3

Amostra de 250 homens: x = 33,8 s₂’² = 5,7

Através da construção de um intervalo de confiança, diga se será de aceitar a tese de que existe desigualdade entre os sexos no tocante ao nível de remuneração

42 – Numa amostra aleatória de 100 votantes, encontram-se 55% favoráveis ao candidato A.

Calcule intervalos de confiança de 99%, 98% e 99,5% de votantes a favor de A

43 – Numa região verifica-se um surto de uma nova doença, da qual ainda se sabe muito pouco, foram observados 2 500 indivíduos escolhidos de forma aleatória, tendo sido encontrados 550 com sintomas da doença.

Determine intervalos de confiança de 95% e de 99% para a proporção de doentes na população.

44 – Uma amostra de 8 animais alimentados com base na ração A, forneceu os seguintes pesos (em kg.):

4,6 ; 4,5 ; 4,5 ; 6,0 ; 6,2 ; 5,0 ; 8,0 ; 6,0

Admitindo que o peso dos animais se comporta normalmente

a) Construa um intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro peso médio dos animais

b) Construa outro intervalo de confiança para o mesmo parâmetro supondo que conhece o valor do desvio padrão s = 0,9.

45 – No Hospital “Escolar” os 300 doentes com hipertensão optaram por um tratamento com o medicamento “X”. Sabe-se que o valor médio e o desvio padrão do colesterol daqueles pacientes, 30 dias depois, foram respectivamente de 165 e 18,5.

Qual a distribuição amostral das médias do colesterol relativamente a amostras de 50 daqueles doentes, considerando:

a) a extracção com reposição

b) a extracção sem reposição

46 - Numa determinada cidade da Paraisolandia observaram-se 64 infantários tendo-se obtido um consumo médio de 26 litros.

a) Indique uma estimativa para o consumo médio de leite amanhã nos infantários nessa cidade.

b) Uma vez que se pretende algo melhor que uma estimativa pontual, calcule o intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de leite nos infantários dessa cidade

c) Se pretendesse melhorar a precisão desse intervalo qual o nível de confiança a utilizar 90% ou 99%

d) Supondo que se obteve um erro de estimativa de 0,7 l qual o grau de confiança que lhe está associado.

e) Qual o número mínimo de infantários a observar nessa cidade para garantir com 95% de confiança uma amplitude igual ou inferior a 1,6 l

f) Que espera que aconteça à amplitude do intervalo de confiança a 95% se observar todos os infantários da cidade ?

47 - Numa cidade da Paraisolândia com 25 000 habitantes, considerou-se uma amostra de 1600 pessoas para estimar a percentagem de eleitores que votaram no Zé Leão. Dos 1600 inquiridos 917 declararam ter intenção de votar no dito candidato.

a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de eleitores que pensam votar no Zé Leão

b) Qual a dimensão da amostra necessária para reduzir a metade a amplitude anterior.

48 - Uma máquina está afinada para produzir peças de um determinado comprimento. Todavia observa-se uma certa variação de comprimento de uma peça para outra, podendo, tal comprimento, ser considerado uma variável aleatória normal.

Tendo sido medido o comprimento de cada peça obtiveram-se os seguintes resultados:

∑ X_i (com i = 1…16) = 80 cm e ∑ X_i² = 535 cm2

a) Determine um intervalo de confiança a 95% para o valor médio do comprimento das peças.

b) Admitindo que o verdadeiro valor da variância é igual à estimativa obtida naquela amostra, determine novo intervalo de confiança a 95%. Que conclusão tira?

c) Repita a alínea 2, admitindo que a amostra recolhida tem dimensão 25.

49 – Um medicamento novo foi experimentado em 2500 indivíduos tendo-se revelado eficaz em 80% dos casos.

Determinar intervalos de confiança de 95% e 99% para a probabilidade de um medicamento ser eficaz quando ministrado a um indivíduo

50 - Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 100 milímetros. Querendo estimar o verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu melhor cliente, seleccionou 25 peças ao acaso, que depois de medidas forneceram os seguintes valores:

å x_i = 2530 mm å (x_i – x)² = 324 mm²

a) apresente uma estimativa pontual para o diâmetro médio do lote.

b) apresente uma estimativa para o diâmetro médio do lote através de um intervalo com grau de confiança de 99%.

c) Quantas peças deveriam ser incluídas na amostra se se pretendesse reduzir o anterior intervalo para 3mm

51 - Seja X uma variável aleatória com distribuição normal na população, sendo m e σ desconhecidos.

Uma amostra de dimensão 15 forneceu os seguintes resultados:

å x_i = 8,7 å x_i² = 27,3

a) Determine um intervalo de confiança a 95% para σ.

b) Qual o intervalo de confiança a 90% e a 95% para m

52 - Os resultados de um estudo sobre o rendimento familiar indicam que, numa cidade com 6000 famílias, aquele parâmetro pode ser considerado uma variável aleatória que segue uma lei de distribuição normal com desvio padrão igual a 30 u.m.

Uma amostra aleatória simples de 100 famílias forneceu uma média do rendimento familiar de 200 u.m.

a)Qual a estimativa pontual para a média do rendimento familiar dessa cidade?

b)Estabeleça o intervalo de confiança a 95% para a média do rendimento familiar dessa cidade

c)Se pretender melhorar a precisão dessa estimativa qual o nível de confiança que deve utilizar, 90% ou 99%? Explique a sua escolha.

53 - Realizou-se uma experiência com o objectivo de estudar as práticas de saúde dentária de uma certa população adulta de uma determinada cidade. Dos 300 adultos inquiridos, 123 afirmaram que com regularidade fazem um check-up dentário 2 vezes por ano. Determine o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção dos adultos que têm cuidados dentários.

54 - Presume-se que certo projecto governamental tem aceitação muito diferente consoante se trate de meios urbanos ou meios rurais.

Informação recolhida a propósito forneceu os seguintes resultados:

- nos meios urbanos, das 200 pessoas interrogadas, 78 afirmaram concordar com o projecto.

- nos meios rurais, em 300 pessoas, 153 mostraram-se favoráveis.

a) Apresente uma estimativa pontual para a diferença entre a proporção de pessoas que nos dois meios favorecem o projecto.

b) Construa um intervalo de confiança a 99% para essa mesma diferença.

55 - Numa sondagem a 100 pessoas, seleccionadas aleatoriamente numa população de 10000 adultos, inquiriu-se sobre a existência de uma religião oficial. Trinta pessoas afirmaram estar de acordo, as restantes declararam o contrário.

Estimou-se, através de um intervalo de confiança, que entre 2100 e 3900 teriam estado de acordo com a existência de uma religião oficial. Qual o nível de confiança utilizado?

56 - Pretende estimar-se a proporção de pessoas que, em certa região do centro do país, é potencial compradora do novo produto “ABC” a lançar no mercado pela empresa “Psicotesta”. Numa amostra de 500 pessoas, 180 afirmam-se receptivas ao novo produto.

a) Apresente uma estimativa para a proporção de pessoas que comprarão o referido produto

b) Faça o mesmo através de um intervalo de confiança a 99%

c) Qual deveria ser o tamanho da amostra a recolher de modo a reduzir a amplitude do intervalo a 2% em relação à média.

57 - Uma determinada instituição pretende investigar se, na cidade A, o nível de produtividade varia entre os homens e as mulheres de uma dada categoria profissional.

Os trabalhos de campo efectuados conduziram aos seguintes valores:

Amostra de 150 mulheres x = 31,0 s’² = 10,3

Amostra de 250 homens x = 33,8 s’² = 5,7

Determine, para uma confiança de 99%, a diferença entre a produtividade masculina e feminina.

58 - O peso dos comprimidos da marca “AAA” produzidos por um laboratório é uma variável que se supõe ter uma distribuição normal.

A fim de estudar a variabilidade do peso dos referidos comprimidos, recolheu-se uma amostra de 11 desses comprimidos. Sabendo que ∑ x_i = 1 100 e ∑ x_i² = 110 080, apresente uma estimativa para a variância do peso dos comprimidos e construa um intervalo de confiança de 85% para essa variância.

59 – Determine a dimensão da amostra que se deve retirar de uma população normal com σ = 3 cm de modo a que o intervalo de confiança a 90% tenha a amplitude de 1 cm.

Determine o nível de confiança do intervalo (7,226;8,774) considerando que foi construído a partir de uma amostra aleatória com 100 elementos.

60 - Suponha que, numa amostra de 100 estudantes, a altura (em polegadas) é normalmente distribuída com média 67,45 e desvio padrão 2,93. Determine um intervalo de confiança para a média das alturas:

a) a 95%

b) a 99%

61 - Uma sondagem efectuada revelou existirem 55% de eleitores favoráveis no voto ao candidato A. Esta sondagem foi efectuada numa amostra aleatória de 200 potenciais eleitores. Calcule intervalos de confiança para a proporção dos eleitores favoráveis ao voto no candidato A.

a) a 95%

b) a 99%

62 - Um fisioterapeuta pretende estimar com 99% de confiança o comprimento médio máximo de um determinado músculo num determinado grupo de indivíduos. Assume-se que as observações seguem uma Distribuição Normal com σ² = 144. De uma amostra de 15 indivíduos que participaram na experiência obteve-se x _média = 84,3.

Determine o intervalo de confiança para o valor médio μ.

63 - A fim de estudar o efeito da “bulímia nervosa” na população universitária do sexo feminino, um grupo de investigadores observou uma amostra aleatória simples de 607 alunas universitárias que forneceu os seguintes resultados:

- Redução de peso desejada em média, por aluna, 3,5 KG;

- Desvio padrão: 0.6 Kg.

a) Apresente uma estimativa pontual para a redução do peso pretendida por aluna, para toda a população de estudantes universitários

b) Estabeleça um intervalo de confiança a 90% para a redução média do peso pretendido por aluna, para toda a população de estudantes universitários

c) Nas condições do problema, se se pretender reduzir a amplitude do intervalo de confiança a metade, qual deveria ser a dimensão da amostra?

64 – Supondo a população normal, construa um intervalo de confiança a 90% para a variância s2 e para o desvio padrão s utilizando a amostra:

44.9; 44.1; 43.0; 42.9; 44.5

65 – Determine a dimensão da amostra a retirar de uma população normal com σ² =16 de modo a que o intervalo de confiança a 95% tenha uma amplitude de 2.

Determine o nível de confiança do intervalo ( 9,982 ; 11,530) considerando que foi construído a partir de uma amostra com 81 elementos.

66 – Na Universidade Autónoma foi efectuado um estudo tendente a apurar se há diferença entre as notas, obtidas por sexo, entre os alunos que prestaram provas da cadeira de Nutricionismo

Analisadas as provas de 32 raparigas e de 40 rapazes obtiveram-se respectivamente as médias de 16,2 e 14,85 com desvio padrão 3,64 (nas provas das raparigas) e 4,03 (nas dos rapazes).

Através da construção de um intervalo de confiança a 99%, verifique se é válido aceitar que há desigualdade entre os sexos no que respeita às notas obtidas na disciplina de Nutricionismo.

67 – Fizeram-se as seguintes observações do número de horas de sono de alguns dos doentes mentais da Clinica ABC:

7,2; 9,4; 7,8; 8,3; 7,2; 9,1; 6,4; 6,6

Determine um intervalo de confiança a 80% para:

a) A média das horas de sono dos doentes da Clinica ABC

b) O respectivo desvio padrão

68 - Um fisioterapeuta pretende estimar, com 99% de confiança, a variância e o desvio padrão da dimensão de um determinado músculo num determinado grupo de indivíduos.

Numa amostra de 5 dos seus clientes obteve para a variável em questão os seguintes valores:

14,9; 14,1; 13; 12,9; 14,5

Determine os intervalos de confiança pelo fisioterapeuta, uma vez que ele ainda não sabe Estatística suficiente para o fazer.

69 - Um inquérito sobre o rendimento familiar incidiu sobre 200 pessoas tendo-se obtido os seguintes valores:

∑ R_i² = 115,895 (10³) u.m.

∑ R_i = 143,8 (10³) u.m.

a) Determinar um intervalo de confiança a 90% para o rendimento familiar

b) Determinar a dimensão que deverá ter uma amostra para que o erro não seja superior a 20 u.m.

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