Limites e Funções

Verificamos que, quando  toma valores próximos de 1, o valor da função aumenta sem limite ou diminui sem limite, conforme se considerar aproximações de  à direita de 1 ou à esquerda de 1, respectivamente.

Quando  se aproxima de 1 por valores à direita de 1,  aumenta sem limite, no sentido que podemos tomar  tão grande quanto queiramos, bastando, para tal, escolher  suficientemente próximo de 1. Denotamos este comportamento por,

(Nota: o símbolo  não representa um número real.)

De modo análogo, quando  se aproxima de 1 por valores à esquerda de 1,  toma valores negativos muito grandes, diminuindo sem limite, pelo que escrevemos

Note-se que, neste caso concreto, não existe limite da função quando  tende para 1, uma vez que os limites laterais são diferentes!

O limite de uma função quando  tende para um “ponto” é igual a  apenas se ambos os limites laterais forem , e é igual a  apenas se ambos os limites laterais forem .

Existe o limite quando

Nºao existe o limite quando

significa que,

para todo o , existe um  tal que, se   então

ou ainda, por maior que seja o número  considerado, existe sempre um intervalo centrado em  onde a função toma sempre valores superiores a .

[Análogo para ]

Há uma função cujo limite tem especial utilidade no estudo do limite de funções:

Limites de funções particulares:

1.     Limite da função

Por abuso de linguagem, a situação acima é também conhecida como:

Normalmente, no cálculo de limites, faz-se uso das regras operatórias descritas atrás para se poder substituir o valor de  por  (mesmo quando  é  ou ). Porém, essa substituição pode levar-nos a situações em que não é possível determinar de imediato o valor do limite. Essas situações são conhecidas por “indeterminações”.

As indeterminações que iremos estudar são as seguintes:

1.     Indeterminação do tipo

Regra geral, para levantar este tipo de indeterminação, é necessário transformar a expressão que define a função, o que pode ser feito através de uma factorização ou de uma racionalização (do numerador ou do denominador). Vejamos alguns exemplos:

Neste caso, a solução é escrever como um produto de factores o numerador e o denominador (isto é, factorizar a expressão). Para tal podemos:

Colocar um termo em evidência;

Usar os casos notáveis da multiplicação; ou

Usar a Regra de Ruffini (repare que 3 é raiz do numerador e do denominador)

Exemplo 2:

Para factorizar usamos a Regra de Ruffini (repare que  é raiz do numerador):

Portanto,

Exemplo 3:

Neste caso temos de racionalizar o denominador. Uma forma de o conseguir é multiplicar essa expressão pelo seu conjugado de modo a que a raiz desapareça (do denominador).

Atenção: quando multiplicarmos o denominador por uma expressão, o numerador também deve ser multiplicado por essa expressão (e vice-versa).

Exemplo 4:

Neste caso, eliminemos a indeterminação multiplicando-se  e dividindo-se pelo conjugado de  que é: