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. Elipse (ou elipse degenerada – um ponto); . Hipérbole (ou hipérbole degenerada); . Parábola (ou parábola degenerada – uma reta). Neste trabalho vou falar, em especial, sobre a elipse. Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c). Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são x=0 e y=0.
Existem vários métodos de construção da elipse, mas os mais utilizados são os seguintes: . Método do Jardineiro; . Método de alongamento de uma circunferência; . Método das duas circunferências. O método do jardineiro consiste, em espetar duas hastes verticais no chão, atar as extremidades de uma corda a cada uma das hastes e com um pau encostado à corda ir traçando a elipse no chão, mantendo sempre a corda esticada. O comprimento da corda deve, obviamente, ser superior à distância entre as hastes.
O método de alongamento de uma circunferência consiste em, partindo de uma circunferência de um determinado diâmetro, com centro na origem de um referencial, multiplicar as abcissas de todos os pontos da circunferência por um fator de alongamento. O diâmetro da circunferência deve ser igual ao eixo menor da elipse que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido para que quando multiplicado por diâmetro da circunferência dê a medida do eixo maior da elipse.
O método das duas circunferências o diâmetro da circunferência maior é igual ao eixo maior da elipse, sendo o da menor igual ao eixo menor. A excentricidade da elipse pode ser alterada movendo o ponto C sobre o sagemento AB.
Equação da Elipse Elipse com focos sobre o eixo Ox: F1= (c, 0) F2= (-c, 0)
Seja 2a a soma das distâncias do ponto P= (x, y) aos focos. De acordo com a definição de elipse, vem: d(P,F1)+d(P,F2)=2a
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
Elevando novamente ao quadrado:
Como a> c então a2-c2 > 0. Temos a2-c2 = b2, pelo teorema de Pitágoras. Então:
O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo Ox
A excentricidade (e) da elipse é o quociente entre a semi-distância focal e o semieixo maior (0<e<1). Elipse com focos sobre o eixo Oy: F1= (0,c) F2= (0, -c)
Temos a<b e pelo teorema de Pitágoras, vem que De acordo com a figura, a equação será:
O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo Oy:
Nota: A circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) é nula. Para elipses muito próximas da circunferência, os focos estão próximos do centro e a excentricidade é muito pequena. Para cada uma das elipses consideradas, podemos ainda admitir uma translação segundo um vector:
Tomemos como exemplo a elipse de equação
A equação da nova elipse obtém-se da anterior substituindo x por x-x1 e y por y-y1
Da equação da circunferência para a equação da elipse: Seja
a equação reduzida de uma elipse. Se tomarmos a=b=r vem:
Obtemos, deste modo, uma circunferência de centro na origem e raio r, cuja equação é:
Este trabalho serviu para aprofundar o conhecimento sobre a elipse. Fiquei a conhecer técnicas de construção existentes e o modo de as aplicar, sendo a mais utilizada o método do jardineiro. A equação reduzida da elipse ou equação canónica e do tipo x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 onde a e b são semieixos da elipse, podendo assim escrever as equações reduzidas de qualquer elipse sabendo um dos seus pontos. Textos: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/ http://www.cl-gaia.rcts.pt/matematica/geometer.htm http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/elipses.htm http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/ Imagens: http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2010/11/elipse.gif http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images/elip1.gif http://alfaconnection.net/images/GEO150108a.gif http://www.coladaweb.com/matematica/conicas_arquivos/image001.gif
http://mandrake.mat.ufrgs.br/edumatec/login/webfolio/homepage/sussu_ http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/imagens/jardinei.gif http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/imagens/alongame.gif http://clientes.netvisao.pt/arselio/Cindy0/elipsircular.jpg http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images/elip2.gif http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images/supconic7.jpg
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Uma cónica é toda a linha
que obtém como interseção de um plano com uma superfície cónica. Uma
superfície cónica de revolução é a superfície gerada pela rotação
completa de uma reta (geratriz) em torno de outra reta (eixo), formando
com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta
completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice. Quando
o plano que interseta a superfície cónica passa pelo vértice, a secção
obtida é uma cónica degenerada. 
As cónicas classificam-se
em três grandes grupos:
