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Funções Trigonometricas

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Resumo do trabalho

Resumo/Apontamentos sobre as Funções Trigonométricas, realizado no âmbito da disciplina de Matemática (12º ano).

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Domínios e contradomínios das funções trigonométricas inversas

Inverso do seno (arcsen)

A função é não injectiva porque temos infinitos ângulos que possuem o mesmo valor da função seno. Não nos é então possível definir uma aplicação inversa para a função seno, porque assim para um valor do domínio dessa aplicação existe uma infinidade de valores possíveis. Pode acontecer que vários elementos do domínio da função dêem origem ao mesmo valor, mas cada elemento do domínio só pode originar um único valor.

No entanto, é possível definir uma função inversa da função seno para um domínio restrito em que haja injectividade, isto é, para o qual a cada elemento do domínio corresponda um valor que não é imagem desse, e de nenhum outro, elemento do domínio.

O arco seno tem domínio [–1, +1], o contradomínio do seno: o argumento a só pode tomar valores dentro desse intervalo. O contradomínio é uma restrição do domínio do seno: [–p/2, +p/2].

Inverso do co-seno (arccos)

A função coseno não é injectiva. O intervalo usado é [0; +p], e os valores permitidos para esta função situam‑se no intervalo [–1, +1], pois o coseno só toma valores neste intervalo.

O arco coseno tem por domínio [–1, +1]: é forçoso que –1 £ a £ 1.

Inverso da tangente (arctg)

A tangente é periódica, de períodop, sendo forçosamente não injectiva. O intervalo que é usado para definir esta função é ]– p/2, +p/2[. Note-se que os extremos do intervalo, –p/2 e +p/2, são excluídos, pois nesses pontos a tangente não está definida (toma valores infinitos).

Inverso da co-tangente ( arccotg)

Tem período:p. O intervalo de valores tomado pelo arco co-tangente é ]0; +p[, e pode tomar qualquer valor real. Os extremos do domínio da função arco co-tangente são excluídos porque nesses pontos a co-tangente não está definida (tem valor infinito).

Funções Trigonométricas

Seno de a

f(a) = sena

Função ímpar, positiva no 1º e 2ºQ, negativa no 3º e 4ºQ.

Monotonia: crescente no 1º e 4ºQ, decrescente no 2º e 3ºQ.

Domínio: ] –∞ , +∞ [

Contradomínio: [-1; 1]

Período: 2p

Coseno de a

f(a) = cosa

Função par, positiva no 1º e 4ºQ, negativa no 2º e 3ºQ.

Monotonia: crescente no 3º e 4ºQ, decrescente no 1º e 2ºQ.

Domínio: ] –∞ , +∞ [.

Contradomínio: [–1 ; +1].

Período: 2p

Tangente de a

f(a) = tga

Função ímpar. Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º e 4ºQ.

Domínio: IR\{kp+p/2, k = 0, ±1, ±2,...} .

Contradomínio: ]–∞ ,+∞[.

Período: p.

Paridade das funções trigonométricas

O seno é ímpar

Sejaa = –b, isto é, a = |b|, e b = –|α| = –a.

Ora, sena = y/r. Projectando o ângulo b sobre o eixo dos YY, então vem que senb = y’/r < 0, pois y’ < 0.

Vê-se facilmente que: senb = y’/r < 0, e por conseguinte sena = y/r = –y’/r = –senb = –sen(–a) Û sen(–a) = –sen(a). Logo, a função seno é ímpar.

O coseno é par

Seja a = –b.

Ora, cos a = x/r, e cosb = x’/r.

Na projecção para a figura acima, facilmente se verá que x = x’.

Logo, cosα = x/r = x’/r = cosb = cos(–a). Portanto, a função coseno é par.

A tangente é ímpar

Sejaa = –b.

Ora, tana = y/x, e tanb = y’/x’, ( aliás, basta dividir seno por coseno). Analogamente, prova-se que tan(–a) = –tana – ou seja, a tangente é ímpar.

326 Visualizações 21/09/2019

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